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se:automatentheorie
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se:automatentheorie [2008-12-01 16:40] stefan |
se:automatentheorie [2014-04-05 11:42] (aktuell) |
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| ====== Automatentheorie ====== | ====== Automatentheorie ====== | ||
| + | |||
| + | ===== Grundlagen ===== | ||
| + | * Ein **Alphabet** ist eine endliche nicht-leere Menge S. Ein Element s ∈ S heißt **Symbol** oder Zeichen. | ||
| + | * s = s<sub>1</sub>...s<sub>n</sub>, s<sub>i</sub> ∈ S, i = 1...n heißt **Wort** über S. | ||
| + | * S<sup>+</sup> := { s | s Wort über S } Menge der Wörter über S, die aus mindestens einem Zeichen bestehen. | ||
| + | * Sei s ∈ S<sup>+</sup>. |s| := **Länge** des Wortes := Anzahl der Symbole im Wort s. | ||
| + | * Sei s ∈ S. |s|<sub>t</sub> := die Anzahl des Auftretens des Symbols t im Wort s. | ||
| + | * S<sup>n</sup> := { s ∈ S<sup>+</sup> | |s| = n } Menge der Wörter über S der Länge n. | ||
| + | * **Konkatenation**: Seien s = s<sub>1</sub>...s<sub>n</sub> ∈ S<sup>+</sup>, s<sub>i</sub> ∈ S, i = 1...n, t = t<sub>1</sub>...t<sub>m</sub> ∈ S<sup>+</sup>, t<sub>i</sub> ∈ S, i = 1...m. st = s<sub>1</sub>...s<sub>n</sub>t<sub>1</sub>...t<sub>m</sub> ∈ S<sup>+</sup> heißt Konkatenation von s mit t. | ||
| + | * L ⊆ S<sup>*</sup> heißt **(formale) Sprache** über S. | ||
| + | |||
| + | ==== Backus-Naur-Form ==== | ||
| + | * Formale (Meta-)Sprache zur Beschreibung von formalen Sprachen | ||
| + | * Symbole: ::=, |, {} | ||
| ===== Einleitung ===== | ===== Einleitung ===== | ||
| Zeile 6: | Zeile 20: | ||
| * diskrete Systeme (Automatentheorie) ∈ kontinuierliche Systeme ∈ technische Kybernetik ∈ [[http://de.wikipedia.org/wiki/Kybernetik|Kybernetik]] (Wissenschaft von der Funktion komplexer Systeme) | * diskrete Systeme (Automatentheorie) ∈ kontinuierliche Systeme ∈ technische Kybernetik ∈ [[http://de.wikipedia.org/wiki/Kybernetik|Kybernetik]] (Wissenschaft von der Funktion komplexer Systeme) | ||
| * Funktion endlicher Automaten: Eingaben → (innere) Zustände → Ausgaben | * Funktion endlicher Automaten: Eingaben → (innere) Zustände → Ausgaben | ||
| + | * Automaten werden von außen bedient, interagieren also mit ihrer Umwelt. | ||
| + | * Sie reagieren auf Eingaben mit bestimmten zugeordneten Ausgaben. | ||
| + | * Ihre Arbeitsweise ist gekennzeichnet durch die Abfolge unterscheidbarer Schritte und Stadien der Bearbeitung der Ein- und Ausgaben. | ||
| * Klassifizierung | * Klassifizierung | ||
| * Endliche erkennende Automaten | * Endliche erkennende Automaten | ||
| Zeile 21: | Zeile 38: | ||
| * deterministisch = "sind determiniert", Folgezustand ist durch aktuellen Zustand und Eingabesymbol eindeutig bestimmt | * deterministisch = "sind determiniert", Folgezustand ist durch aktuellen Zustand und Eingabesymbol eindeutig bestimmt | ||
| * **Definition**: A = (X, S, s<sub>0</sub>, δ, F) | * **Definition**: A = (X, S, s<sub>0</sub>, δ, F) | ||
| - | * X: Eingabealphabet | + | * X: Eingabealphabet (endlich) |
| - | * S: Zustandsmenge | + | * S: Zustandsmenge (endlich) |
| - | * s<sub>0</sub>: Anfangszustand | + | * s<sub>0</sub>: Anfangszustand s<sub>0</sub> ∈ S |
| * δ: Zustandsübergangsfunktion | * δ: Zustandsübergangsfunktion | ||
| * S x X → S | * S x X → S | ||
| - | * δ(s<sub>i</sub>, x<sub>j</sub>) → s<sub>k</sub> (Folgezustand zu s<sub>i</sub>) | + | * δ(s<sub>i</sub>, x<sub>j</sub>) → s<sub>k</sub> (Folgezustand zu s<sub>i</sub>) |
| - | * δ<sup>*</sup>: Fortsetzung der Zustandsübergangsfunktion auf Wörter ∈ X<sup>*</sup> | + | * F: Menge der Endezustände F ⊆ S |
| + | * δ<sup>*</sup>: Fortsetzung der Zustandsübergangsfunktion auf Wörter ∈ X<sup>*</sup> | ||
| * δ<sup>*</sup>(s<sub>0</sub>, w) ∈ S | w = x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, ..., x<sub>n</sub>, x<sub>i</sub> ∈ X | * δ<sup>*</sup>(s<sub>0</sub>, w) ∈ S | w = x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, ..., x<sub>n</sub>, x<sub>i</sub> ∈ X | ||
| * δ<sup>*</sup>(s, ε) = s | s ∈ S, ε leeres Wort | * δ<sup>*</sup>(s, ε) = s | s ∈ S, ε leeres Wort | ||
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| ==== Sprache eines DEA ==== | ==== Sprache eines DEA ==== | ||
| - | * L(A) := { w ∈ X<sup>*</sup> | δ<sup>*</sup>(s<sub>0</sub>, w) ∈ F} (Menge aller Wörter, die vom Anfangszustand in einen mehrerer möglicher Endzustände führen) | + | * Sei A = (X, S, s<sub>0</sub>, δ, F) ein DEA. L(A) := { w ∈ X<sup>*</sup> | δ<sup>*</sup>(s<sub>0</sub>, w) ∈ F} heißt die durch A akzeptierte Sprache (Menge aller Wörter, die vom Anfangszustand in einen mehrerer möglicher Endzustände führen) |
| - | * durch endliche Automaten akzeptierbar/definierbar, falls es einen DEA gibt, der sie akzeptiert | + | * Eine Sprache L ist durch einen endlichen Automaten definierbar (oder **regulär**), falls es einen DEA A gibt mit L = L(A) (Automat akzeptiert die Sprache) |
| ==== Unterschied DEA / NEA ==== | ==== Unterschied DEA / NEA ==== | ||
| - | * Im DEA gibt es **für jeden Zustand für jedes Eingabezeichen eine Transition** in seinen Folgezustand! | + | * Zustandsübergangsfunktion des NEA hat P(S) als Wertebereich |
| - | * DEA: nur eindeutige Transitionen, NEA: mehrdeutige Transitionen möglich | + | * Im DEA gibt es **für jeden Zustand für jedes Eingabezeichen eine Transition** in seinen Folgezustand! |
| + | * DEA: nur eindeutige Transitionen, NEA: mehrdeutige (oder keine) Transitionen möglich | ||
| + | * NEA hat evtl. mehrere Anfangszustände | ||
| * im NEA können alle Transitionen in Fehlerzustände im Gegensatz zum DEA weggelassen werden | * im NEA können alle Transitionen in Fehlerzustände im Gegensatz zum DEA weggelassen werden | ||
| ===== Nicht-deterministische endliche Automaten (NEA) ===== | ===== Nicht-deterministische endliche Automaten (NEA) ===== | ||
| - | * Folgezustand zu aktuellem Zustand und Eingabesymbol wird durch nicht näher bestimmtes Verfahren aus evtl. mehreren möglichen gewählt | + | * Eigenschaften |
| + | * kann mehrere Startzustände enthalten | ||
| + | * Folgezustand zu aktuellem Zustand und Eingabesymbol wird durch nicht näher bestimmtes Verfahren aus evtl. mehreren möglichen gewählt | ||
| + | * es muss keinen Folgezustand geben | ||
| + | * es kann mehrere Folgezustände zum gleichen Eingabesymbol geben | ||
| * **Definition**: A = (X, S, S<sub>0</sub>, δ, F) | * **Definition**: A = (X, S, S<sub>0</sub>, δ, F) | ||
| - | * X: Eingabealphabet | + | * X: Eingabealphabet (endlich) |
| - | * S: Zustandsmenge | + | * S: Zustandsmenge (endlich) |
| * S<sub>0</sub>: Menge der Anfangszustände, S<sub>0</sub> ⊆ S | * S<sub>0</sub>: Menge der Anfangszustände, S<sub>0</sub> ⊆ S | ||
| * δ: Zustandsübergangsfunktion | * δ: Zustandsübergangsfunktion | ||
| * S x X → P(S), zu einem Eingabesymbol ist in einem definierten Zustand eine Menge von Folgezuständen möglich | * S x X → P(S), zu einem Eingabesymbol ist in einem definierten Zustand eine Menge von Folgezuständen möglich | ||
| * δ(s<sub>i</sub>, x<sub>j</sub>) → S<sub>k</sub> (Folgezustände zu s<sub>i</sub>, leere Menge, ein oder mehrere Zustände) | * δ(s<sub>i</sub>, x<sub>j</sub>) → S<sub>k</sub> (Folgezustände zu s<sub>i</sub>, leere Menge, ein oder mehrere Zustände) | ||
| + | * F: Menge der Endezustände F ⊆ S | ||
| * werden zwei NEA zusammengefasst, bilden sie ein logisches Oder bzw. die Vereinigungsmenge | * werden zwei NEA zusammengefasst, bilden sie ein logisches Oder bzw. die Vereinigungsmenge | ||
| + | |||
| + | ==== Sprache eines NEA ==== | ||
| + | * Sei A = (X, S, S<sub>0</sub>, δ, F) ein NEA. L(A) := { w ∈ X<sup>*</sup> | ∃ s<sub>0</sub> ∈ S<sub>0</sub> : δ<sup>*</sup>(s<sub>0</sub>, w) ∩ F ≠ ∅ } heißt die durch A akzeptierte Sprache (Menge aller Wörter, die von einem Anfangszustand in eine Zustandsmenge führen, die wenigstens einen Endezustand enthält) | ||
| + | * Eine Sprache L ist durch einen endlichen Automaten definierbar (oder **regulär**), falls es einen DEA A gibt mit L = L(A) (Automat akzeptiert die Sprache) | ||
| ==== Überprüfung, ob NEA und DEA äquivalent ==== | ==== Überprüfung, ob NEA und DEA äquivalent ==== | ||
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| ===== Automaten mit Ausgabe ===== | ===== Automaten mit Ausgabe ===== | ||
| + | * **Definition**: A = (X, Y, S, s<sub>0</sub>, δ, σ) | ||
| + | * X: Eingabealphabet | ||
| + | * Y: Ausgabealphabet | ||
| + | * S: Zustandsmenge (endlich) | ||
| + | * s<sub>0</sub>: Startzustand s<sub>0</sub> ⊆ S | ||
| + | * δ: Zustandsübergangsfunktion S x X → S | ||
| + | * σ: Ausgabefunktion | ||
| * Mealy-Automaten: Ausgabe bei Transition | * Mealy-Automaten: Ausgabe bei Transition | ||
| - | * δ: S x X → Y, δ(s<sub>i</sub>, x) = Y | + | * σ: S x X → Y, σ(s<sub>i</sub>, x) = Y |
| * Moore-Automaten: Ausgabe im Zielzustand | * Moore-Automaten: Ausgabe im Zielzustand | ||
| - | * δ: S → Y | + | * σ: S → Y |
| * Eselsbrücke: M**oo**re -> Z**u**stand, Me**a**ly -> Tr**a**nsition | * Eselsbrücke: M**oo**re -> Z**u**stand, Me**a**ly -> Tr**a**nsition | ||
| + | |||
| ===== Formale Sprachen und Grammatiken ===== | ===== Formale Sprachen und Grammatiken ===== | ||
| Zeile 100: | Zeile 137: | ||
| * P: Menge der Produktionen (Ersetzungsregeln) | * P: Menge der Produktionen (Ersetzungsregeln) | ||
| * eine durch G erzeugte Sprache: L(G) = { x ∈ T<sup>*</sup> | S ⇒<sup>*</sup> x} (alle Wörter, die aus dem Startsymbol abgeleitet werden können) | * eine durch G erzeugte Sprache: L(G) = { x ∈ T<sup>*</sup> | S ⇒<sup>*</sup> x} (alle Wörter, die aus dem Startsymbol abgeleitet werden können) | ||
| - | * Chomsky-Hierarchie (Typ(i + 1) ist gleichzeitig vom Typ(i)) | + | * Chomsky-Hierarchie (Typ(i + 1) ist gleichzeitig vom Typ(i)) definiert 4 Typen von Grammatiken |
| * Typ 0 (allgemeine Grammatiken): keine Einschränkung der Produktionen | * Typ 0 (allgemeine Grammatiken): keine Einschränkung der Produktionen | ||
| * Beispiele: aBc → B, B → c, bA → B, B → aaa | * Beispiele: aBc → B, B → c, bA → B, B → aaa | ||
| Zeile 121: | Zeile 158: | ||
| * Sei L eine formale Sprache. L ist regulär, wenn es eine lineare Grammatik G gibt mit L = L(G) (Grammatiken vom Typ 3 erzeugen reguläre Sprachen) | * Sei L eine formale Sprache. L ist regulär, wenn es eine lineare Grammatik G gibt mit L = L(G) (Grammatiken vom Typ 3 erzeugen reguläre Sprachen) | ||
| * Um eine Grammatik vom Typ 3 durch einen Automaten abzubilden, müssen Regeln der Form A → t ersetzt werden durch A → tN<sub>ε</sub> und N<sub>ε</sub> → ε | * Um eine Grammatik vom Typ 3 durch einen Automaten abzubilden, müssen Regeln der Form A → t ersetzt werden durch A → tN<sub>ε</sub> und N<sub>ε</sub> → ε | ||
| + | * Für jede Transition in einen Endzustand müssen zwei Produktionen vorhanden sein, wenn im Endzustand weitere Eingaben erlaubt (aber nicht verpflichtend) sind: (Beispielautomat "otto" erkennen, Endzustand W) V → o | oW, W → o | t | oW | tW | ||
| + | * Typische Fragen zu Grammatiken | ||
| + | * Typ nach Chomsky? -> Produktionen untersuchen | ||
| + | * Ist G in Normalform? -> Produktionen untersuchen, Verstöße gegen Normalform suchen | ||
| + | * Ist die Ableitung des Wortes xyz möglich? -> mit den Produktionen ausgehend von S versuchen, das Wort nachzubauen | ||
| ==== Überführung einer Grammatik in Normalform ==== | ==== Überführung einer Grammatik in Normalform ==== | ||
| Zeile 126: | Zeile 168: | ||
| * A → aaB ersetzen durch A → aC, C → aB | * A → aaB ersetzen durch A → aC, C → aB | ||
| * A → B ersetzen durch A → w | B ⇒<sup>*</sup> w | * A → B ersetzen durch A → w | B ⇒<sup>*</sup> w | ||
| - | * Für jede Transition in einen Endzustand müssen zwei Produktionen vorhanden sein! | ||
| * alle Regeln sind nun von der Form A → a oder A → aB | * alle Regeln sind nun von der Form A → a oder A → aB | ||
| * Typ 2 | * Typ 2 | ||
| Zeile 135: | Zeile 176: | ||
| ===== ToDo ===== | ===== ToDo ===== | ||
| - | * Übung: NEA in DEA überführen | + | * <del>Beispiele aus Vorlesung nochmal machen</del> |
| - | * Skript Herold lesen | + | * Aufgaben 3.5.2 machen |
| - | * Definition reguläre Sprache | + | * <del>Übung: NEA in DEA überführen</del> |
| - | * Normalformen | + | * <del>BNF</del> |
| - | * Kann man Automaten mit LaTeX setzen? | + | * <del>Skript Herold lesen</del> |
| - | * Beispiele aus Vorlesung nochmal machen | + | * <del>Definition reguläre Sprache</del> |
| - | * Aufgaben 3.5.2 machen | + | * <del>Normalformen</del> |
| + | * <del>Kann man Automaten mit LaTeX setzen?</del> | ||
se/automatentheorie.1228146022.txt.gz · Zuletzt geändert: 2014-04-05 11:42 (Externe Bearbeitung)
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