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--- se:automatentheorie [2008-12-02 10:18]
stefan
+++ se:automatentheorie [2014-04-05 11:42]
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-====== Automatentheorie ======
-===== Grundlagen =====
-  * Ein **Alphabet** ist eine endliche nicht-leere Menge S. Ein Element s ∈ S heißt **Symbol** oder Zeichen.
-  * s = s<sub>1</sub>...s<sub>n</sub>, s<sub>i</sub> ∈ S, i = 1...n heißt **Wort** über S.
-  * S<sup>+</sup> := { s | s Wort über S } Menge der Wörter über S, die aus mindestens einem Zeichen bestehen.
-  * Sei s ∈ S<sup>+</sup>. |s| := **Länge** des Wortes := Anzahl der Symbole im Wort s.
-  * Sei s ∈ S. |s|<sub>t</sub> := die Anzahl des Auftretens des Symbols t im Wort s.
-  * S<sup>n</sup> := { s ∈ S<sup>+</sup> | |s| = n } Menge der Wörter über S der Länge n.
-  * **Konkatenation**: Seien s = s<sub>1</sub>...s<sub>n</sub> ∈ S<sup>+</sup>, s<sub>i</sub> ∈ S, i = 1...n, t = t<sub>1</sub>...t<sub>m</sub> ∈ S<sup>+</sup>, t<sub>i</sub> ∈ S, i = 1...m. st = s<sub>1</sub>...s<sub>n</sub>t<sub>1</sub>...t<sub>m</sub> ∈ S<sup>+</sup> heißt Konkatenation von s mit t.
-  * L ⊆ S<sup>*</sup> heißt **(formale) Sprache** über S.
-==== Backus-Naur-Form ====
-  * Formale (Meta-)Sprache zur Beschreibung von formalen Sprachen
-  * Symbole: ::=, |, {}
-===== Einleitung =====
-  * Einordung "Automatentheorie"
-    * Formalisierung reaktiver Systeme (diskrete Systeme)
-    * diskrete Systeme (Automatentheorie) ∈ kontinuierliche Systeme ∈ technische Kybernetik ∈ [[http://de.wikipedia.org/wiki/Kybernetik|Kybernetik]] (Wissenschaft von der Funktion komplexer Systeme)
-  * Funktion endlicher Automaten: Eingaben → (innere) Zustände → Ausgaben
-    * Automaten werden von außen bedient, interagieren also mit ihrer Umwelt.
-    * Sie reagieren auf Eingaben mit bestimmten zugeordneten Ausgaben.
-    * Ihre Arbeitsweise ist gekennzeichnet durch die Abfolge unterscheidbarer Schritte und Stadien der Bearbeitung der Ein- und Ausgaben.
-  * Klassifizierung
-    * Endliche erkennende Automaten
-      * am weitesten reduzierte Automaten
-      * keine Äußerungen nach außen
-    * nächste Stufe: minimale Reaktion (binär, z.B. Lampe an/aus)
-  * **Eingaben**: Zeichenfolgen über Alphabet X = { x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, ..., x<sub>n</sub> }
-    * werden akzeptiert, wenn Automat im Endzustand ist
-  * **Ausgaben**: Zeichenfolgen über Alphabet Y = { y<sub>1</sub>, y<sub>2</sub>, ..., y<sub>n</sub> }
-  * **Zustände** (states): **unterscheidbare** Stadien der Verarbeitung von Eingaben
-    * Zustandsmenge S = { s<sub>1</sub>, s<sub>2</sub>, ..., s<sub>n</sub> }
-    * Partizipien weisen auf Zustände hin: "Taste gedrückt" etc.
-===== Deterministische endliche Automaten (DEA) =====
-  * deterministisch = "sind determiniert", Folgezustand ist durch aktuellen Zustand und Eingabesymbol eindeutig bestimmt
-  * **Definition**: A = (X, S, s<sub>0</sub>, δ, F)
-    * X: Eingabealphabet (endlich)
-    * S: Zustandsmenge (endlich)
-    * s<sub>0</sub>: Anfangszustand s<sub>0</sub> ∈ S
-    * δ: Zustandsübergangsfunktion
-      * S x X → S
-      * δ(s<sub>i</sub>, x<sub>j</sub>) → s<sub>k</sub> (Folgezustand zu s<sub>i</sub>)
-    * F: Menge der Endezustände F ⊆ S
-  * δ<sup>*</sup>: Fortsetzung der Zustandsübergangsfunktion auf Wörter ∈ X<sup>*</sup>
-      * δ<sup>*</sup>(s<sub>0</sub>, w) ∈ S | w = x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, ..., x<sub>n</sub>, x<sub>i</sub> ∈ X
-      * δ<sup>*</sup>(s, ε) = s | s ∈ S, ε leeres Wort
-      * δ<sup>*</sup>(s, x<sub>i</sub>) = δ(s, x<sub>i</sub>) | x<sub>i</sub> ∈ X, **ein** Zeichen
-      * δ<sup>*</sup>(s, x) = δ<sup>*</sup>(s, x<sub>1</sub>x<sub>2</sub>...x<sub>n</sub>) = δ<sup>*</sup>(δ(s, x<sub>1</sub>), x<sub>2</sub>x<sub>3</sub>...x<sub>n</sub>)
-  * **Konfiguration**: (aktueller Zustand, restliche Eingabe)
-  * Arbeitsweise (Beispiel Lesekopf)
-    - Eingabeband enthält endlich viele Eingabesymbole des Eingabealphabets, Lesekopf in s<sub>0</sub> über erstem Zeichen
-    - Lesekopf in Zustand s liest aktuelles Zeichen x und geht in Zustand δ(s, x), bewegt sich eine Position nach rechts
-    - Ist das Eingabeband leer und der Automat ist in einem Endzustand, hat der Automat die Eingabe akzeptiert
-    - Der Automat springt nicht zurück an den Anfang. Neues Wort heißt neuer Automat.
-==== Sprache eines DEA ====
-  * Sei A = (X, S, s<sub>0</sub>, δ, F) ein DEA. L(A) := { w ∈ X<sup>*</sup> | δ<sup>*</sup>(s<sub>0</sub>, w) ∈ F} heißt die durch A akzeptierte Sprache (Menge aller Wörter, die vom Anfangszustand in einen mehrerer möglicher Endzustände führen)
-  * Eine Sprache L ist durch einen endlichen Automaten definierbar (oder **regulär**), falls es einen DEA A gibt mit L = L(A) (Automat akzeptiert die Sprache)
-==== Unterschied DEA / NEA ====
-  * Zustandsübergangsfunktion des NEA hat P(S) als Wertebereich
-    * Im DEA gibt es **für jeden Zustand für jedes Eingabezeichen eine Transition** in seinen Folgezustand!
-    * DEA: nur eindeutige Transitionen, NEA: mehrdeutige (oder keine) Transitionen möglich
-  * NEA hat evtl. mehrere Anfangszustände
-  * im NEA können alle Transitionen in Fehlerzustände im Gegensatz zum DEA weggelassen werden
-===== Nicht-deterministische endliche Automaten (NEA) =====
-  * Eigenschaften
-    * kann mehrere Startzustände enthalten
-    * Folgezustand zu aktuellem Zustand und Eingabesymbol wird durch nicht näher bestimmtes Verfahren aus evtl. mehreren möglichen gewählt
-      * es muss keinen Folgezustand geben
-      * es kann mehrere Folgezustände zum gleichen Eingabesymbol geben
-  * **Definition**: A = (X, S, S<sub>0</sub>, δ, F)
-    * X: Eingabealphabet (endlich)
-    * S: Zustandsmenge (endlich)
-    * S<sub>0</sub>: Menge der Anfangszustände, S<sub>0</sub> ⊆ S
-    * δ: Zustandsübergangsfunktion
-      * S x X → P(S), zu einem Eingabesymbol ist in einem definierten Zustand eine Menge von Folgezuständen möglich
-      * δ(s<sub>i</sub>, x<sub>j</sub>) → S<sub>k</sub> (Folgezustände zu s<sub>i</sub>, leere Menge, ein oder mehrere Zustände)
-    * F: Menge der Endezustände F ⊆ S
-  * werden zwei NEA zusammengefasst, bilden sie ein logisches Oder bzw. die Vereinigungsmenge
-==== Sprache eines NEA ====
-  * Sei A = (X, S, S<sub>0</sub>, δ, F) ein NEA. L(A) := { w ∈ X<sup>*</sup> | ∃ s<sub>0</sub> ∈ S<sub>0</sub> : δ<sup>*</sup>(s<sub>0</sub>, w) ∩ F ≠ ∅ } heißt die durch A akzeptierte Sprache (Menge aller Wörter, die von einem Anfangszustand in eine Zustandsmenge führen, die wenigstens einen Endezustand enthält)
-  * Eine Sprache L ist durch einen endlichen Automaten definierbar (oder **regulär**), falls es einen DEA A gibt mit L = L(A) (Automat akzeptiert die Sprache)
-==== Überprüfung, ob NEA und DEA äquivalent ====
-  - Konstruiere zu gegebenem DEA einen äquivalenten NEA (direkt erfüllt, da jeder DEA schon ein NEA ist)
-  - Konstruiere zu gegebenem NEA einen äquivalenten DEA (akzeptiert die selbe Sprache)
-    * A = (X, S, S<sub>0</sub>, δ, F) → A<sup>d</sup> = (X, S<sup>d</sup>, s<sub>0</sub><sup>d</sup>, δ<sup>d</sup>, F<sup>d</sup>)
-    * S<sup>d</sup> := P(S) (alle möglichen Teilmengen von S)
-    * s<sub>0</sub><sup>d</sup> := S<sub>0</sub> (Menge der Anfangszustände des NEA ist **ein** Element von P(S))
-    * δ(Q, x) := U<sub>q ∈ Q</sub>δ(q, x) (alle Mengen der Folgezustände zu q<sub>i</sub>, die vereinigt werden müssen)
-    * F<sup>d</sup> := { Q ∈ S<sup>d</sup> | Q ∩ F ≠ ∅}
-===== Pumping-Lemma =====
-  * ab einer gewissen Länge von Wörtern (> Anzahl der Zustände) sind in diesen Zyklen enthalten, die beliebig häufig durchlaufen werden können
-  * Sei L regulär über X: ∃ n ∈ N, sodass ∀ x ∈ L mit |x| ≥ n: x = uvw (uvw = Teilwörter, u = Weg in den Zyklus, v = Zyklus, w = Weg aus dem Zyklus)
-  * Bedingung: |uv| ≤ n, |v| ≥ 1, n muss mindestens die Anzahl der Zustände sein
-  * => uv<sup>i</sup>w ∈ L ∀ i ∈ N (v<sup>i</sup>: v wird i-mal vervielfältigt)
-==== Beispiel ====
-Nachweis, dass folgende Sprache nicht regulär ist, durch Umkehrung des Pumping-Lemma:
-L = { x ∈ {a, b} | x = a<sup>n</sup>b<sup>n</sup> für n ∈ N}
-  - wähle n entsprechend des Pumping-Lemmas
-  - wähle Exemplar/Wort x ∈ L: a<sup>n</sup>b<sup>n</sup>
-  - betrachte Zerlegungen in Teilwörter x = uvw mit |uv| ≤ n, |v| ≥ 1
-  - für alle Zerlegungen von x in Teilwörter mit x = uvw und v in a<sup>n</sup> werden nur a's vervielfältigt => |uv<sup>i</sup>w|<sub>a</sub> ≠ |uv<sup>i</sup>w|<sub>b</sub>
-===== Automaten mit Ausgabe =====
-  * **Definition**: A = (X, Y, S, s<sub>0</sub>, δ, σ)
-    * X: Eingabealphabet
-    * Y: Ausgabealphabet
-    * S: Zustandsmenge (endlich)
-    * s<sub>0</sub>: Startzustand s<sub>0</sub> ⊆ S
-    * δ: Zustandsübergangsfunktion S x X → S
-    * σ: Ausgabefunktion
-  * Mealy-Automaten: Ausgabe bei Transition
-    * σ: S x X → Y, σ(s<sub>i</sub>, x) = Y
-  * Moore-Automaten: Ausgabe im Zielzustand
-    * σ: S → Y
-  * Eselsbrücke: M**oo**re -> Z**u**stand, Me**a**ly -> Tr**a**nsition
-===== Formale Sprachen und Grammatiken =====
-  * **formale Sprache**: Menge von Wörtern bestehend aus Symbolen eines endlichen Alphabets
-  * **Ableitung**: fortgesetzte Ersetzungsschritte, die mit dem Startsymbol beginnen (Kennzeichnung ⇒<sup>*</sup>)
-  * **Grammatiken** erzeugen/generieren formale Sprachen: G = (N, T, S, P)
-    * N: Menge der nicht-terminalen Symbole (Großbuchstaben)
-    * T: Menge der terminalen Symbole (Kleinbuchstaben)
-    * S: Startsymbol
-    * P: Menge der Produktionen (Ersetzungsregeln)
-  * eine durch G erzeugte Sprache: L(G) = { x ∈ T<sup>*</sup> | S ⇒<sup>*</sup> x} (alle Wörter, die aus dem Startsymbol abgeleitet werden können)
-  * Chomsky-Hierarchie (Typ(i + 1) ist gleichzeitig vom Typ(i)) definiert 4 Typen von Grammatiken
-    * Typ 0 (allgemeine Grammatiken): keine Einschränkung der Produktionen
-      * Beispiele: aBc → B, B → c, bA → B, B → aaa
-      * alle Normalformen
-    * Typ 1 (nicht verkürzende Grammatiken): für Produktionen a → b gilt b ∈ (N ∪ T)<sup>+</sup> (leeres Wort ausgeschlossen) und |a| ≤ |b|
-      * aB → abA, B → ab, AB → CaB
-      * Termination, Expansion 2, doppelte Substitution
-    * Typ 2 (kontextfreie Grammatiken): für Produktionen a → b gilt a ∈ N, b ∈ (N ∪ T)<sup>+</sup>
-      * Beispiele: A → a, A → AB, AB → AC, A → abC
-      * Termination, Expansion 2
-    * Typ 3 ((rechts-)lineare Grammatiken, **reguläre Sprachen**): für Produktionen a → b gilt a ∈ N, b hat die Form tB oder t mit t ∈ T<sup>*</sup>, B ∈ N, b ≠ ε
-      * Beispiele: A → a, A → aA, A → B, A → aaaB
-      * Termination, Expansion 1
-  * **Normalformen** sind einfache Repräsentanten einer Klasse äquivalenter Grammatiken
-    * A → ε (Reduktion)
-    * A → t (Termination)
-    * A → tB (Expansion 1)
-    * A → BC (Expansion 2)
-    * AB → CD (doppelte Substitution)
-  * Sei L eine formale Sprache. L ist regulär, wenn es eine lineare Grammatik G gibt mit L = L(G) (Grammatiken vom Typ 3 erzeugen reguläre Sprachen)
-  * Um eine Grammatik vom Typ 3 durch einen Automaten abzubilden, müssen Regeln der Form A → t ersetzt werden durch A → tN<sub>ε</sub> und N<sub>ε</sub> → ε
-    * Für jede Transition in einen Endzustand müssen zwei Produktionen vorhanden sein, wenn im Endzustand weitere Eingaben erlaubt (aber nicht verpflichtend) sind: (Beispielautomat "otto" erkennen, Endzustand W) V → o | oW, W → o | t | oW | tW
-  * Typische Fragen zu Grammatiken
-    * Typ nach Chomsky? -> Produktionen untersuchen
-    * Ist G in Normalform? -> Produktionen untersuchen, Verstöße gegen Normalform suchen
-    * Ist die Ableitung des Wortes xyz möglich? -> mit den Produktionen ausgehend von S versuchen, das Wort nachzubauen
-==== Überführung einer Grammatik in Normalform ====
-  * Typ 3
-    * A → aaB ersetzen durch A → aC, C → aB
-    * A → B ersetzen durch A → w | B ⇒<sup>*</sup> w
-    * alle Regeln sind nun von der Form A → a oder A → aB
-  * Typ 2
-    * für jedes terminale Symbol t wird ein nicht-terminales Symbol T erstellt und die Produktionen um T → t erweitert
-    * A → b<sub>i</sub> ersetzen durch A → B<sub>i</sub> für jedes i
-    * A → BCD ersetzen durch A → BE, E → CD
-    * alle Regeln sind nun von der Form A → a oder A → BC
-===== ToDo =====
-  * Beispiele aus Vorlesung nochmal machen
-  * Aufgaben 3.5.2 machen
-  * Übung: NEA in DEA überführen
-  * <del>BNF</del>
-  * <del>Skript Herold lesen</del>
-  * <del>Definition reguläre Sprache</del>
-  * <del>Normalformen</del>
-  * Kann man Automaten mit LaTeX setzen?

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