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se:automatentheorie
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se:automatentheorie [2008-12-01 15:10] stefan |
se:automatentheorie [2014-04-05 11:42] |
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| - | ====== Automatentheorie ====== | ||
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| - | ===== Einleitung ===== | ||
| - | * Einordung "Automatentheorie" | ||
| - | * Formalisierung reaktiver Systeme (diskrete Systeme) | ||
| - | * diskrete Systeme (Automatentheorie) ∈ kontinuierliche Systeme ∈ technische Kybernetik ∈ [[http://de.wikipedia.org/wiki/Kybernetik|Kybernetik]] (Wissenschaft von der Funktion komplexer Systeme) | ||
| - | * Funktion endlicher Automaten: Eingaben → (innere) Zustände → Ausgaben | ||
| - | * Klassifizierung | ||
| - | * Endliche erkennende Automaten | ||
| - | * am weitesten reduzierte Automaten | ||
| - | * keine Äußerungen nach außen | ||
| - | * nächste Stufe: minimale Reaktion (binär, z.B. Lampe an/aus) | ||
| - | * **Eingaben**: Zeichenfolgen über Alphabet X = { x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, ..., x<sub>n</sub> } | ||
| - | * werden akzeptiert, wenn Automat im Endzustand ist | ||
| - | * **Ausgaben**: Zeichenfolgen über Alphabet Y = { y<sub>1</sub>, y<sub>2</sub>, ..., y<sub>n</sub> } | ||
| - | * **Zustände** (states): unterscheidbare Stadien der Verarbeitung von Eingaben | ||
| - | * Zustandsmenge S = { s<sub>1</sub>, s<sub>2</sub>, ..., s<sub>n</sub> } | ||
| - | * Partizipien weisen auf Zustände hin: "Taste gedrückt" etc. | ||
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| - | ===== Deterministische endliche Automaten (DEA) ===== | ||
| - | * **Definition**: A = (X, S, s<sub>0</sub>, δ, F) | ||
| - | * X: Eingabealphabet | ||
| - | * S: Zustandsmenge | ||
| - | * s<sub>0</sub>: Anfangszustand | ||
| - | * δ: Zustandsübergangsfunktion | ||
| - | * S x X → S | ||
| - | * δ(s<sub>i</sub>, x<sub>j</sub>) → s<sub>k</sub> (Folgezustand zu s<sub>i</sub>) | ||
| - | * δ<sup>*</sup>: Fortsetzung der Zustandsübergangsfunktion auf Wörter ∈ X<sup>*</sup> | ||
| - | * δ<sup>*</sup>(s<sub>0</sub>, w) ∈ S | w = x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, ..., x<sub>n</sub>, x<sub>i</sub> ∈ X | ||
| - | * δ<sup>*</sup>(s, ε) = s | s ∈ S, ε leeres Wort | ||
| - | * δ<sup>*</sup>(s, x<sub>i</sub>) = δ(s, x<sub>i</sub>) | x<sub>i</sub> ∈ X, **ein** Zeichen | ||
| - | * δ<sup>*</sup>(s, x) = δ<sup>*</sup>(s, x<sub>1</sub>x<sub>2</sub>...x<sub>n</sub>) = δ<sup>*</sup>(δ(s, x<sub>1</sub>), x<sub>2</sub>x<sub>3</sub>...x<sub>n</sub>) | ||
| - | * Im DEA gibt es **für jeden Zustand für jedes Eingabezeichen eine Transition** in seinen Folgezustand! | ||
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| - | ==== Sprache eines DEA ==== | ||
| - | * L(A) := { w ∈ X<sup>*</sup> | δ<sup>*</sup>(s<sub>0</sub>, w) ∈ F} (Menge aller Wörter, die vom Anfangszustand in einen Endzustand führen) | ||
| - | * durch endliche Automaten akzeptierbar/definierbar, falls es einen DEA gibt, der sie akzeptiert | ||
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| - | ===== Nicht-deterministische endliche Automaten (NEA) ===== | ||
| - | * **Definition**: A = (X, S, S<sub>0</sub>, δ, F) | ||
| - | * X: Eingabealphabet | ||
| - | * S: Zustandsmenge | ||
| - | * S<sub>0</sub>: Menge der Anfangszustände, S<sub>0</sub> ⊆ S | ||
| - | * δ: Zustandsübergangsfunktion | ||
| - | * S x X → P(S), zu einem Eingabesymbol ist in einem definierten Zustand eine Menge von Folgezuständen möglich | ||
| - | * δ(s<sub>i</sub>, x<sub>j</sub>) → S<sub>k</sub> (Folgezustände zu s<sub>i</sub>, leere Menge, ein oder mehrere Zustände) | ||
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| - | ==== Überprüfung, ob NEA und DEA äquivalent ==== | ||
| - | - Konstruiere zu gegebenem DEA einen äquivalenten NEA (direkt erfüllt, da jeder DEA schon ein NEA ist) | ||
| - | - Konstruiere zu gegebenem NEA einen äquivalenten DEA (akzeptiert die selbe Sprache) | ||
| - | * A = (X, S, S<sub>0</sub>, δ, F) → A<sup>d</sup> = (X, S<sup>d</sup>, s<sub>0</sub><sup>d</sup>, δ<sup>d</sup>, F<sup>d</sup>) | ||
| - | * S<sup>d</sup> := P(S) (alle möglichen Teilmengen von S) | ||
| - | * s<sub>0</sub><sup>d</sup> := S<sub>0</sub> (Menge der Anfangszustände des NEA ist **ein** Element von P(S)) | ||
| - | * δ(Q, x) := U<sub>q ∈ Q</sub>δ(q, x) | ||
| - | * F<sup>d</sup> := { Q ∈ S<sup>d</sup> | Q ∩ F ≠ ∅} | ||
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| - | ===== Pumping-Lemma ===== | ||
| - | * Sei L regulär über X: ∃ n ∈ N, sodass ∀ x ∈ L mit |x| ≥ n: x = uvw (uvw = Teilwörter, u = Weg in den Zyklus, v = Zyklus, w = Weg aus dem Zyklus) | ||
| - | * Bedingung: |uv| ≤ n, |v| ≥ 1, n muss mindestens die Anzahl der Zustände sein | ||
| - | * => uv<sup>i</sup>w ∈ L ∀ i ∈ N (v<sup>i</sup>: v wird i-mal vervielfältigt) | ||
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| - | ===== ToDo ===== | ||
| - | * Skript Herold lesen | ||
se/automatentheorie.txt · Zuletzt geändert: 2014-04-05 11:42 (Externe Bearbeitung)
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